Las transformaciones algebráicas se refieren a todo tipo de operaciones que involucran expresiones algebraicas.

Polinomio

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En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio es un producto de un coeficiente y una variable elevado a un número natural, que se llama el exponente del monomio.
Ejemplos de monomios son $\scriptstyle 2x, x^3, 6x^5, \dots$ . El siguiente ejemplo describe en detalle las partes de un monomio. Si consideramos el monomio:

$6x^5\,$

es un monomio con coeficiente 6, variable x y exponente 5. Por tanto, el grado de este monomio es 5.
El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio, existe el término independiente, que es un monomio que no tiene parte literal o variable, es decir, que no tiene variables o letras que lo acompañen. Algunos ejemplos:

P(x) = 2, polinomio de grado cero.

P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

P(x) = 2x²+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

Convencionalmente se define el grado del polinomio nulo como $\scriptstyle -\infty$ . En particular los números (o elementos del anillo $\scriptstyle (A,+,\cdot)$ ) son polinomios de grado cero.

Contenido

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[editar] Definición algebraica

[editar] Polinomios de una variable

Para a₀, …, a_n constantes en algún anillo (en particular podemos tomar un cuerpo, como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , en cuyo caso los coeficientes del polinomio serán números) con a_n distinto de cero, para n > 0, entonces un polinomio, P, de grado n en la variable x es un objeto de la forma

$P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1}+ \cdots + a_1 x^{1} + a_0 x^{0}.$

El polinomio se puede escribir más concisamente usando sumatorios como

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}.$

Las constantes a₀, …, a_n se llaman los coeficientes del polinomio. A a₀ se le llama el coeficiente constante (o término independiente) y a a_n, el coeficiente principal. Cuando el coeficiente principal es 1, al polinomio se le llama mónico o normado. Siendo x un símbolo llamado indeterminada.

[editar] Polinomios de varias variables

Los polinomios de varias variables son similares a los de una variable. La diferencia es que en ellos cada uno de los monomios puede contener más de una letra de variable. Por ejemplo:

$5xy, 3xz^2, 4xy^2z, \dots$

Son monomios de varias variables. Más en detalle el último de ellos $\scriptstyle 4uv^2t$ es un momonio de tres variables (ya que en él aparecen tres letras x, y y z), el coeficientes es 4, y los exponentes son 1, 2 y 1, ya que xy²z = x¹y²z¹.

[editar] Operaciones con polinomios

Artículo principal: Operaciones con polinomios

Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por los términos del otro polinomio y se simplifican los monomios semejantes, posteriormente. Por ejemplo:

$\begin{matrix} P(x)Q(x) =(2x^3+4x+1)(5x^2+3)\\ =(2x^3+4x+1)(5x^2) + (2x^3+4x+1)(3) \\ =(10x^5 + 20x^3 + 5x^2) + (6x^3+12x+3)\\ =10x^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3 \end{matrix}$

Para poder realizar eficazmente la operación tienes que adquirir los datos necesarios de mayor a menor. Una fórmula analítica que expresa el producto de dos polinomios es la siguiente:

$P(X)Q(X) = \left( \sum_{i=0}^m a_i X^i \right) \left(\sum_{j=0}^n b_j X^j \right) = \sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{p=0}^k a_p b_{k-p} \right) X^k$

Aplicando esta fórmula al ejemplo anterior se tiene:

$\begin{matrix} P(x)Q(x) =(2x^3+4x+1)(5x^2+3) =\\ (1\cdot 3)x^0 + (4 \cdot 3)x^1 + (1 \cdot 5)x^2 + (4\cdot 5+ 2\cdot 3)x^3 + (0)x^4 + (5\cdot 2)x^5 = \\ 10x^5 + 26x^3 + 5x^2 + 12x + 3 \end{matrix}$

Puede comprobarse que para polinomios no nulos se satisface la siguiente relación entre el grado de los polinomios $\scriptstyle P(X)$ y $\scriptstyle Q(X)$ y el polinomio producto $\scriptstyle P(X)Q(X)$ :

(*) $\mbox{gr}(P(X)Q(X)) = \mbox{gr}(P(X)) + \mbox{gr}(Q(X))\,$

Puesto que el producto de cualquier polinomio por el polinomio nulo es el propio polinomio nulo, se define convencionalmente que $\scriptstyle \mbox{gr}(0) = -\infty$ (junto con la operación $\forall p: -\infty + p = -\infty$ ) por lo que la expresión (*) puede extenderse también al caso de que alguno de los polinomios sea nulos.

[editar] Funciones polinómicas

Artículo principal: Función polinómica

Las funciones polinómicas son funciones que se basan en expresiones de tipo polinomio. Una función polinómica puede definirse como la operación resultante de substituir la letra x en un polinimo en esa variable por un número. La funciones polinómicas reales son funciones suaves, esto es, son infinitamente diferenciables (tienen derivadas de todos los órdenes finitos).
Debido a su estructura simple, las funciones polinómicas son muy sencillos de evaluar numéricamente, y se usan ampliamente en análisis numérico para interpolación polinómica o para integrar numéricamente funciones más complejas. Una manera muy eficiente para evaluar polinomios es la utilización de la regla de Horner.
En álgebra lineal el polinomio característico de una matriz cuadrada codifica muchas propiedades importantes de la matriz. En teoría de los grafos el polinomio cromático de un grafo codifica las distintas maneras de colorear los vértices del grafo usando x colores.
Con el desarrollo de la computadora, los polinomios han sido remplazados por funciones spline en muchas áreas del análisis numérico. Las splines se definen a partir de polinomios y tienen mayor flexibilidad que los polinomios ordinarios cuando definen funciones simples y suaves. Éstas son usadas en la interpolación spline y en gráficos por computadora.

[editar] Ejemplos de funciones polinómicas

Note que las gráficas representan a las funciones polinomiales y no a los polinomios en sí, pues como se dice define anteriormente, un polinomio es la suma de varios monomios.

Polinomio de grado 2: f(x) = x² - x - 2= (x+1)(x-2).	Polinomio de grado 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 - 7x/5 - 2= 1/5 (x+5)(x+1)(x-2).
Polinomio de grado 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5.	Polinomio de grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2.

La función

$f(x)= 13x^4 - 7x^3 + \begin{matrix}\frac{2}{3}\end{matrix} x^2 - 5x + 3$

es un ejemplo de función polinómica de cuarto grado, con coeficiente principal 13 y una constante de 3.

[editar] Factorización de polinomios

Artículo principal: Factorización

Para factorizar un polinomio de segundo grado completo (con todos los términos) se divide por el inverso de una de sus raíces sumado con la incógnita, siendo los factores el número por el que dividimos y el resultado; ya que no hay resto, cumpliéndose así que dividendo = incógnita - divisor Χ cociente + resto, siendo este el resultado final hayado para completar la ecuación. En caso de que el polinomio no tenga término independiente se sacará la incógnita como factor común y ya está factorizado. También se puede factorizar usando las igualdades notables.
En un anillo conmutativo $\scriptstyle A$ una condición necesaria para que un monomio sea un factor de un polinomio de grado n > 1, es que el término independiente del polinomio sea divisible por la raíz del monomio:

$P_n(X) = a_n X^n + \dots + a_1 X + a_0 = (X-\alpha)Q_{n-1}(X) \qquad \Rightarrow \alpha\ \text{divide a}\ a_0$

Debe tenerse presente que el que un polinomio factorice o no depende de sobre qué anillos se considere la factorización, por ejemplo el polinomio X²-2 no factoriza sobre $\scriptstyle \mathbb{Q}$ pero sí factoriza sobre $\scriptstyle \mathbb{R}$ :

$X^2 - 2 = (X - \sqrt{2})(X + \sqrt{2})$

Por otra parte X²+2 no factoriza ni sobre $\scriptstyle \mathbb{Q}$ , ni tampoco sobre $\scriptstyle \mathbb{R}$ aunque factoriza sobre $\scriptstyle \mathbb{C}$ :

$X^2 + 2 = (X - i\sqrt{2})(X + i\sqrt{2})$

Un cuerpo en el que todo polinomio no constante factoriza en monomios es un cuerpo algebraicamente cerrado.

[editar] Historia

Volumen de una pirámide truncada.

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.
En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.
Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.
Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.
La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.